【线性代数】6 线性空间与线性变换

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线性空间线性变换

线性空间

子空间：设 V V V是一个线性空间， L L L是 V V V的非空子集，如果 L L L对于 V V V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间（线性运算封闭），则称 L L L是 V V V的子空间。同构：一般地，设 V V V和 U U U是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么说两个线性空间同构。同维的线性空间同构，线性空间的结构完全由它的维数决定。

线性变换

线性空间中的线性变换：线性映射是从线性空间到其本身。线性变换的核：使 T α = 0 T\alpha=\bold 0 Tα=0的全体

N T = { α ∣ α ∈ V n , T α = 0 } N_T=\{\alpha|\alpha \in V_n,T\alpha=\bold 0\} NT​={α∣α∈Vn​,Tα=0}

也是一个线性空间，称为线性变换 T T T的核。

T ( x ) = A x ( x ∈ R n ) T(\bold x)=\bold A\bold x(x \in R^n) T(x)=Ax(x∈Rn)的核就是齐次方程组 A x = 0 \bold A\bold x=\bold 0 Ax=0的解空间。线性空间中的线性变换与矩阵之间存在一一对应的关系。

T ( α ) = A α T(\alpha)=\bold A\alpha T(α)=Aα在线性空间取两个基 α 1 , α 2 , . . . , α n ; β 1 , β 2 , . . . , β n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n;\beta_1,\beta_2,...,\beta_n α1​,α2​,...,αn​;β1​,β2​,...,βn​，该线性空间的线性变换在两个基下的矩阵依次是 A A A和 B B B，从基 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1​,α2​,...,αn​到基 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1​,β2​,...,βn​的过渡矩阵为 P P P，则 B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B=P−1AP。线性变换像空间的维数称为线性变换的秩，即对应矩阵的秩。矩阵限制原空间得像空间。

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